Nuevas Fronteras en Optimización Cuántica: Formulaciones QUBO, HOBO, QUDO y Tensor QUDO

De QUBO a Tensor QUDO: los modelos que están redefiniendo la optimización en la era cuántica

En los últimos años, el auge de la computación cuántica ha impulsado una revolución en la forma en que abordamos problemas de optimización complejos. Este artículo presenta una introducción clara y accesible a los modelos de optimización que están marcando la pauta en el desarrollo cuántico: QUBO, HOBO, QUDO y Tensor QUDO. Estas formulaciones no solo permiten traducir problemas complejos a un lenguaje que las máquinas cuánticas pueden procesar, sino que también abren nuevas posibilidades para resolver retos en sectores como la logística, la energía, las finanzas o la manufactura avanzada. 

QUBO: QUADRATIC UNCONSTRAINED BINARY OPTIMIZATION

La formulación QUBO ha emergido como el estándar de facto para representar problemas de optimización en sistemas cuánticos y cuántico-inspirados. Consiste en minimizar una función cuadrática sobre variables binarias sin restricciones. Su versatilidad permite codificar una amplia gama de problemas industriales: desde la asignación de tareas, pasando por el diseño de redes, hasta la planificación de rutas logísticas.

El modelo QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization) se expresa generalmente como:

Aquí, Q es una matriz simétrica de coeficientes que define la estructura del problema, y x es un vector de variables binarias que representan las decisiones a tomar. Esta representación permite incorporar términos lineales y cuadráticos que capturan interacciones entre variables, penalizaciones y objetivos. Además, al no imponer restricciones explícitas, las condiciones del problema se integran directamente en la función objetivo mediante términos de penalización adecuadamente ponderados.

Gracias a su estructura, el QUBO es particularmente adecuado para ser resuelto en hardware especializado como los computadores cuánticos adiabáticos (e.g., D-Wave), procesadores neuromórficos y arquitecturas inspiradas en computación evolutiva o memristiva. También ha sido adoptado por algoritmos heurísticos y metaheurísticos clásicos, como recocido simulado, algoritmos genéticos o métodos de optimización estocástica.

En el contexto empresarial e industrial, el uso del QUBO ha permitido reformular problemas complejos de manera unificada y tratable, facilitando su resolución mediante plataformas de optimización cuántica o clásica de alto rendimiento. Esto lo convierte en una herramienta fundamental dentro del paradigma emergente de la optimización híbrida cuántico-clásica, donde se exploran nuevas fronteras de eficiencia computacional para problemas tradicionalmente intratables.

HOBO: HIGHER-ORDER BINARY OPTIMIZATION

Cuando las interacciones entre variables exceden el segundo orden, surge HOBO como una extensión natural de QUBO. Esta formulación permite modelar sistemas con interdependencias complejas, habituales en problemas con restricciones lógicas no lineales o en planificación bajo múltiples criterios. Aunque su resolución es más costosa computacionalmente, técnicas de reducción a QUBO están siendo activamente investigadas.

HOBO (Higher-Order Binary Optimization) se define por una función objetivo que incluye términos de orden superior, es decir, productos de tres o más variables binarias. En vez de utilizar matrices que definen el problema, se utilizan tensores. Cada término representa una interacción entre k variables (k > 2) y los coeficientes capturan la influencia conjunta de dichas variables en la función objetivo. Esta capacidad de expresar dependencias de orden superior resulta esencial para modelar escenarios donde las decisiones no se pueden descomponer en pares independientes, como en la evaluación de combinaciones de recursos, configuraciones de sistemas complejos o restricciones lógicas que dependen de la conjunción de múltiples factores.

Sin embargo, los problemas HOBO son intrínsecamente más difíciles de resolver. Las técnicas de reducción a QUBO buscan transformar cada término de orden superior en un conjunto de términos cuadráticos mediante la introducción de variables auxiliares y restricciones de penalización. Esta transformación incrementa el tamaño del problema, pero permite aprovechar algoritmos y arquitecturas optimizadas para QUBO. Se exploran múltiples estrategias de reducción, incluyendo sustituciones algebraicas, construcción de gadgets booleanos y optimización simbólica. Por otro lado, algoritmos como HOBOTAN buscan poder resolver estos problemas directamente sin otras transformaciones.

El estudio de HOBO y su reducción a QUBO representa un área activa de investigación, clave para ampliar el alcance de la optimización binaria a dominios de aplicación más ricos y complejos, como el diseño de circuitos digitales, la biología computacional, la inteligencia artificial explicable y la gestión de sistemas energéticos distribuidos.

QUDO: QUADRATIC UNCONSTRAINED D-ARY OPTIMIZATION

QUDO generaliza QUBO a variables con d > 2 estados (qudits en lugar de qubits). Esta característica lo hace ideal para modelar problemas donde las decisiones no son binarias, como la asignación de turnos con múltiples franjas horarias, o la selección entre varias estrategias logísticas. A medida que los procesadores cuánticos soporten qudits, esta formulación ganará relevancia por su eficiencia en la representación.

Formalmente, QUDO (Quadratic Unconstrained Discrete Optimization) extiende el dominio de las variables de  x_i ∈ {0,1} a x_i ∈ {0,1,…,d-1}. Esto permite modelar directamente decisiones con múltiples alternativas sin recurrir a codificaciones binarias indirectas, que aumentan el número de variables y la complejidad del problema. La función objetivo en QUDO conserva su naturaleza cuadrática, pero definida sobre variables discretas multivaluadas. Esta propiedad permite convertir los problemas QUDO en QUBO mediante añadir una cantidad logarítmica de variables binarias, permitiendo su resolución con las mismas técnicas que el QUBO.

Esta formulación permite representar de manera natural problemas de asignación múltiple, diseño de horarios, enrutamiento con diferentes modos de transporte o selección de configuraciones tecnológicas. Además, los modelos QUDO reflejan más visualmente ciertas restricciones del mundo real, como relaciones de orden, jerarquías de prioridad o disponibilidad en múltiples niveles.

Desde el punto de vista computacional, los problemas QUDO presentan nuevos desafíos, ya que requieren algoritmos capaces de manejar variables no binarias y explorar un espacio de soluciones discretas más amplio. Además, una gran cantidad de restricciones no son posibles de implementar en este formalismo. Sin embargo, esta complejidad se ve compensada por una menor necesidad de variables auxiliares y una codificación más compacta del problema original. Los enfoques de solución incluyen extensiones de recocido simulado, algoritmos evolutivos multivaluados, y versiones discretas de métodos de descenso estocástico.

TENSOR QUDO: POTENCIA DIMENSIONAL EN OPTIMIZACIÓN

Tensor QUDO, desarrollado por el ITCL, lleva un paso más allá la idea de QUDO, de forma que en vez de tener relaciones cuadrátricas multiplicativas, tenemos relaciones entre elementos de tensores. De esta forma, no multiplicamos el coste por el valor de las variables, sino que estos valores nos indican el elemento al que acceder en el tensor de costes. Este formalismo es una generalización del QUBO y el QUDO, y permite resolver problemas mucho más complejos de forma más natural, como los problemas de rutas. Además, permite su integración de una manera más simple en algoritmos de tensor networks para optimización combinatoria, como el MeLoCoToN o el TTOpt.

Tensor QUDO lleva un paso más allá la idea de QUDO, extendiendo su formulación desde relaciones cuadráticas multiplicativas hacia relaciones estructurales entre elementos de tensores de orden superior. En lugar de realizar productos entre variables binarias o discretas, cada combinación de valores de las variables se utiliza como índice para acceder directamente a una entrada específica dentro de un tensor de costes. Así, se evita la multiplicación del coste por los valores de las variables y se reemplaza por una operación de indexación eficiente, lo que representa una mejora en escalabilidad y expresividad.

Este formalismo constituye una generalización tanto del QUBO como del QUDO, permitiendo modelar de forma más natural y directa problemas combinatorios complejos, como los problemas de rutas, asignaciones jerárquicas o planificaciones con restricciones multivariadas.

Además, su estructura tensorial habilita una integración más sencilla y efectiva con algoritmos basados en redes tensoriales (tensor networks) para la optimización combinatoria, como MeLoCoToN o TTOpt. En estos algoritmos, el uso de tensores multidimensionales permite explotar la estructura del problema y aplicar técnicas de descomposición como MPS (Matrix Product States) o TT (Tensor Trains), facilitando la resolución eficiente de instancias de gran escala.

APLICACIONES PRÁCTICAS DESDE CENTROS DE INNOVACIÓN TECNOLÓGICA

Desde la perspectiva de centros como ITCL, estas formulaciones abren una vía para colaborar con la industria en la aplicación de algoritmos cuánticos a problemas reales. Sectores como la energía, la automoción, la logística o la salud pueden beneficiarse de mejoras radicales en eficiencia mediante el uso de estas técnicas. Además, fomentan la generación de conocimiento propio en algoritmos de optimización avanzada, posicionando a los centros tecnológicos en la vanguardia de la transición cuántica.